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\author{2024级数学与应用数学1班}
\title{常微分方程重要定理复习题}
\date{2025年11月27日}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}, wide=0pt, leftmargin=*]

\item \textbf{Cauchy–Lipschitz 定理（解的存在唯一性定理）}：(1)叙述该定理的条件与结论。(2)举例说明一个满足 Lipschitz 条件从而保证初值问题解存在且唯一的微分方程。(3)再举一个不满足 Lipschitz 条件导致解不唯一的例子。(4)简述该定理证明中使用的逐次逼近法（Picard 迭代）的基本思想。

%\item \textbf{Peano 存在性定理}：写出该定理的假设条件和结论，并与 Cauchy–Lipschitz 定理进行比较，指出其弱化了哪个条件、牺牲了什么结论。试构造一个仅满足 Peano 定理条件但不满足 Lipschitz 条件的初值问题，并说明为何其解可能不唯一。

\item \textbf{解的延拓定理}：(1)叙述最大存在区间及解可延拓的含义。(2)说明在何种条件下一个局部解可以延拓为全局解？(3)举例说明一个解在其最大存在区间端点处“爆破”（blow-up）的情形，并解释为何无法进一步延拓。

\item \textbf{齐次线性微分方程组解的叠加原理}：(1)设 $\mathbf{x}_1(t), \dots, \mathbf{x}_k(t)$ 是齐次线性微分方程组 $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$ 的解，说明它们的任意线性组合仍是解的原因。(2)结合具体二阶方程的例子，说明如何利用叠加原理构造通解。

\item \textbf{刘维尔公式（Wronski 行列式的性质）}：(1)写出刘维尔公式的形式，并说明它如何描述 Wronski 行列式 $W(t)$ 随时间的变化规律。(2)利用该公式判断给定的一组函数是否可能构成某个二阶线性齐次方程的基本解组。(3)简述其证明中对行列式求导的关键步骤。

% \item \textbf{常系数齐次线性微分方程的特征方程定理}：以 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程为例，说明如何通过特征方程求得基本解组。分别讨论特征根为单实根、重实根、共轭复根三种情形下对应的线性无关解的形式。举例写出一个三阶方程并求出其通解结构。

\item \textbf{非齐次线性微分方程通解结构定理}：(1)叙述该定理的内容，即通解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解。(2)说明为什么这一结构成立。(3)结合一个具体的二阶非齐次方程，说明如何验证某函数是其特解，并据此写出通解。

\item \textbf{幂级数解的柯西定理（常微分方程解析解存在性定理）}：(1)叙述该定理的内容，即当微分方程的系数在某点解析时，其初值问题在该点邻域内存在唯一的解析解（可展开为收敛幂级数）。(2) 说明该定理适用于何种类型的方程（如线性或非线性）。(3)以一个二阶线性方程为例（如 Legendre 方程或 Airy 方程），说明如何利用该定理保证幂级数解法的合理性，并简述证明思路中对递推关系与收敛半径的估计。

\item \textbf{Liapunov 稳定性基本定理}：(1)叙述 Liapunov 稳定性、渐近稳定性的定义，并写出 Liapunov 直接法中的基本定理（包括正定函数与导数负定的条件）。(2)针对一个平面自治系统，说明如何构造合适的 Liapunov 函数来判断零解的稳定性。

% \item \textbf{Sturm 比较定理}：设两个二阶线性齐次微分方程 $y'' + q_1(x)y = 0$ 与 $y'' + q_2(x)y = 0$，其中 $q_1(x) < q_2(x)$，叙述 Sturm 比较定理关于其非平凡解零点分布的结论。举例说明如何利用该定理估计某方程解的振荡频率或零点间距。

% \item \textbf{Poincaré–Bendixson 定理}：叙述该定理的条件（平面上的有界正向轨道、不含奇点的闭区域等）与结论（极限集为周期轨道）。说明该定理为何在高维系统中不成立。尝试描述一个满足定理条件的二维自治系统，并解释其相图中可能出现极限环的原因。

\end{enumerate}

\end{document}